087章 高斯定理的估算 (第1/2页)
　　
　　“这位同学，请保持清醒，不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。
　　
　　“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太阳穴，最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子，改的他心力憔悴，没怎么休息好。
　　
　　“赶紧搞定最后一道计算题，搞完了回家补觉。”沈奇打起精神，仔细审题。
　　
　　审完最后一道25分的计算题，沈奇终于有了几分兴趣：“就这最后一题，像是正规物理老师出的题。”
　　
　　物理计算题大多配有示意图，不配图的物理题一般呈现两种极端，一种是简单的想打瞌睡，另一种是难的吊炸天。
　　
　　初赛镇宅之题的分值最高，25分，这道计算配有示意图。
　　
　　示意图是一个圆，从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R，这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
　　
　　本题的文字描述是：
　　
　　“如图所示，电荷线密度为λ（λ＞0），半径为R的均匀带点圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球，静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
　　
　　“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响，试判断小球之后的运动是否为振动？”
　　
　　“若为振动，设小球初始位置与O点的距离r0＜＜R，试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
　　
　　估算与严格计算的区别在于，估算可以绕过复杂的数学演算，直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
　　
　　就初赛最后一道计算题而言，小球的运动是振动还是非振动，沈奇必须给出定性结论，判断不得有误。这是第一步。
　　
　　对于同一道物理题，如果采用估算方法，可选择的途径往往不止一条。
　　
　　很明显，这是道电磁学题目，沈奇在诸多种估算方法中，选择静电场高斯定理为依据开始答题。
　　
　　沈奇作出一个辅助图，取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
　　
　　在圆平面上以O点为圆心，作半径为r的圆。
　　
　　将此圆沿x轴的正负方向各延展l，一个圆柱面就此形成。
　　
　　沈奇取此圆柱面为高斯面，因其中无电荷，根据高斯定理可得：
　　
　　∯E*ds=0
　　
　　高斯定理一祭出，真相越来越清晰。
　　
　　带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点，为恢复性保守力，小球的运动为振动，振动中心就是O点。
　　
　　沈奇很快解决了第一问，这就是定性给结论，接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
　　
　　第二问要求沈奇估算小球的振动周期T，稍微麻烦一点点。
　　
　　圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算，沈奇作出计算：
　　
　　E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2
　　
　　那么通过两端面的电通量近似值就出来了：
　　
　　∬两端面E*ds≈E1*2πr^2
　　
　　通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算，根据高斯定理可得：
　　
　　∯圆柱面E*ds=∬两端面E*ds+∬侧面E*ds=0
　　
　　那么带电小球在r处所受静电力为：
　　
　　Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
　　
　　考虑到线性恢复力，小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
　　
　　所以周期T=4πR根号εm/λq
　　
　　“搞定。”历经CMO乃至IMO的洗礼，沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。
　　
　　
　　
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